キャッシュレス還元（2020年度都立新宿高校）
2020/06/27
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「キャッシュレス還元」6月末で終了してしまいます。非常にショックです。
それと同時に，ごみ袋有料化の義務化です。（セイコーマートは除く，さすが！）
どうして同時に来てしまうのでしょうかね。
ゴミ袋有料化に関しては，絶対環境問題よくわかっていない人が推進してそう。環境学学んでほしい。
さて，そんな愚痴はどうでもいいとして，新宿高校に，キャッシュレス還元を用いる数学の問題がございました。
ただ使っているだけでなく，入試問題としても素敵です。
問題の出典：http://www.shinjuku-h.metro.tokyo.jp/site/zen/entry_0000006.html
第25回芸術的な難問高校入試
「キャッシュレス還元」
出典：2020年度（令和2年度）東京都立新宿高校 過去問
範囲：連立方程式 など
難易度：★★★☆☆☆ 美しさ：★★★★★★
.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1XY1zoib56-vjvFbVdCisnwWhzSChuxjO/view?usp=sharing
その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html
＜検索コード＞
芸術的な高校入試第25回
出典：2020年度 都立 新宿高校
難易度：★★★☆☆☆ 美しさ：★★★★★★
総試験時間：50分 配点：40点/100点
次の各問に答えよ。
問1
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8) を計算せよ。
問2 二次方程式
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1 を解け。
問3
x=(5-4√7)/2,y=(5+8√7)/2 のとき，
x^2+2xy+y^2+4x-4yの値を求めよ。
問4
箱の中に，１，２，３，４，５，６の数字を1つずつ書いた6枚のカード１，２，３，４，５，６が入っている。
この箱の中にある6枚のカードから，カードを1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をaとし，取り出したカードを箱の中に戻して，もう一度箱の中にある6枚のカードから1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をbとするとき，
(2a+b)/√ab が整数となる確率を求めよ。
ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
問5
図1のように，円Oの周上に，4点A，B，C，Dがある。点Aと点B，点Aと点D，点Bと点C，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。AB＝BCとし，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜ADの長さの3倍であり，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜CDの長さの6倍であるとき，xで示した∠BADの大きさは何度か。
図1
問6
消費税8％の商品Aを税込み価格（a）円で，消費税10%の商品Bを税込み価格（b）円で，それぞれ現金で購入するときに支払う消費税額を計算すると，合計60円であった。商品AとBを，キャッシュレス決済（現金を使わない支払い方法）で購入するとき，それぞれの税込み価格に対して5%分の金額が，支払い時に値引きされるお店で支払う金額を計算すると，合計722円であった。（a），（b）に当てはまる数を求めよ。
問7
図2で，四角形ABCDの辺AB，辺AD，辺CDにそれぞれ接する円の中心をOとし，辺CDとの接点をEとする。回答欄に示した図をもとにして，点Eを定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Eの位置を示す文字Eも書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
図2
【解答例】
問1（5点）
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)
=2/3×3/√6-√(2/3)=(2√6)/6-√6/3=0
問2（5点）
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1
4x^2+12x+9-3x-9+1=0
4x^2+9x+1=0
x=(-9±√65)/8
問3（5点）
x^2+2xy+y^2+4x-4y
=(x+y)^2+4(x-y)
=(5+2√7)^2+4(-6√7)
=25+20√7+28-24√7=53-4√7
問4（5点）
①
まず√ab が整数になるには，
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
の8通り。
②
上記のa，bにおいて，2a+bが割り切れないのは，a＝4，b＝1のみ。したがって，合計7通り。
7/36
問5（5点）
∠BAC＝∠BCA＝aとし，条件をもとに図に描きこんでいく。
すると，△ABDにおいて，
1/3 a+a+7/6 a=15/6 a=180 より，a=72
x=7/6 a=84
問6（4点×2）
前半の条件から，
8/108 a+10/110 b=60…①
後半の条件から，
95/100 a+95/100 b=722…②
この連立方程式を解く。
②より，a+b=760 a=760-b ①に代入して。
8/108 (760-b )+1/11 b=60 両辺108*11かけて
66880-88b+108b=71280 20b=4400 b=220
a=540
問7（7点）
OA，ODを利用して，合同な三角形がたくさんできることが分かる。よって，まずは，①∠A，Dの二等分線を引き，中心Oを作図。その後，②点Oから，辺CDに垂線を下ろせばよい。
【コメント】
適当に高校入試の問題を見ていたら，新宿高校の「キャッシュレス還元」が目に留まりました。小問集合だったので，とりあえず全部紹介。
問6，非常に面白いです。どんな風に割引がなされるのか，考えるきっかけにもなりますし，何よりそれなりに捻ってあります。①は，例えば本体価格がx円で，消費税8％だった場合，
本体価格 消費税込み
100/100 x 108/100 x
となりますから，もし消費税込みy円だったら，その逆算をすればよいので，
本体価格 消費税込み
100/108 y 108/108 y
となります。
あとは，②が簡単な式になることに気づいて，上手く計算を頑張れるかです。ただキャッシュレス還元で面白くしているだけでなく，入試としても丁度よいですね。素晴らしい。
ただ残念なのが，今月末でキャッシュレス還元終了。結構割引されてたから困る……。
地味に他の問題も丁度よいです。
【作成】
「高校入試 数学 良問・難問」
https://hokkaimath.blog.fc2.com/
それと同時に，ごみ袋有料化の義務化です。（セイコーマートは除く，さすが！）
どうして同時に来てしまうのでしょうかね。
ゴミ袋有料化に関しては，絶対環境問題よくわかっていない人が推進してそう。環境学学んでほしい。
さて，そんな愚痴はどうでもいいとして，新宿高校に，キャッシュレス還元を用いる数学の問題がございました。
ただ使っているだけでなく，入試問題としても素敵です。
問題の出典：http://www.shinjuku-h.metro.tokyo.jp/site/zen/entry_0000006.html
第25回芸術的な難問高校入試
「キャッシュレス還元」
出典：2020年度（令和2年度）東京都立新宿高校 過去問
範囲：連立方程式 など
難易度：★★★☆☆☆ 美しさ：★★★★★★
.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1XY1zoib56-vjvFbVdCisnwWhzSChuxjO/view?usp=sharing
その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html
＜検索コード＞
芸術的な高校入試第25回
出典：2020年度 都立 新宿高校
難易度：★★★☆☆☆ 美しさ：★★★★★★
総試験時間：50分 配点：40点/100点
次の各問に答えよ。
問1
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8) を計算せよ。
問2 二次方程式
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1 を解け。
問3
x=(5-4√7)/2,y=(5+8√7)/2 のとき，
x^2+2xy+y^2+4x-4yの値を求めよ。
問4
箱の中に，１，２，３，４，５，６の数字を1つずつ書いた6枚のカード１，２，３，４，５，６が入っている。
この箱の中にある6枚のカードから，カードを1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をaとし，取り出したカードを箱の中に戻して，もう一度箱の中にある6枚のカードから1枚取り出し，取り出したカードに書いてある数字をbとするとき，
(2a+b)/√ab が整数となる確率を求めよ。
ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
問5
図1のように，円Oの周上に，4点A，B，C，Dがある。点Aと点B，点Aと点D，点Bと点C，点Cと点Dをそれぞれ結ぶ。AB＝BCとし，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜ADの長さの3倍であり，点Cを含まない⏜ABの長さが，点Bを含まない⏜CDの長さの6倍であるとき，xで示した∠BADの大きさは何度か。
図1
問6
消費税8％の商品Aを税込み価格（a）円で，消費税10%の商品Bを税込み価格（b）円で，それぞれ現金で購入するときに支払う消費税額を計算すると，合計60円であった。商品AとBを，キャッシュレス決済（現金を使わない支払い方法）で購入するとき，それぞれの税込み価格に対して5%分の金額が，支払い時に値引きされるお店で支払う金額を計算すると，合計722円であった。（a），（b）に当てはまる数を求めよ。
問7
図2で，四角形ABCDの辺AB，辺AD，辺CDにそれぞれ接する円の中心をOとし，辺CDとの接点をEとする。回答欄に示した図をもとにして，点Eを定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Eの位置を示す文字Eも書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
図2
【解答例】
問1（5点）
(5/7-1/21)×3/√6-√3/2÷√(9/8)
=2/3×3/√6-√(2/3)=(2√6)/6-√6/3=0
問2（5点）
(2x+3)^2-3(x+3)+2=1
4x^2+12x+9-3x-9+1=0
4x^2+9x+1=0
x=(-9±√65)/8
問3（5点）
x^2+2xy+y^2+4x-4y
=(x+y)^2+4(x-y)
=(5+2√7)^2+4(-6√7)
=25+20√7+28-24√7=53-4√7
問4（5点）
①
まず√ab が整数になるには，
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
の8通り。
②
上記のa，bにおいて，2a+bが割り切れないのは，a＝4，b＝1のみ。したがって，合計7通り。
7/36
問5（5点）
∠BAC＝∠BCA＝aとし，条件をもとに図に描きこんでいく。
すると，△ABDにおいて，
1/3 a+a+7/6 a=15/6 a=180 より，a=72
x=7/6 a=84
問6（4点×2）
前半の条件から，
8/108 a+10/110 b=60…①
後半の条件から，
95/100 a+95/100 b=722…②
この連立方程式を解く。
②より，a+b=760 a=760-b ①に代入して。
8/108 (760-b )+1/11 b=60 両辺108*11かけて
66880-88b+108b=71280 20b=4400 b=220
a=540
問7（7点）
OA，ODを利用して，合同な三角形がたくさんできることが分かる。よって，まずは，①∠A，Dの二等分線を引き，中心Oを作図。その後，②点Oから，辺CDに垂線を下ろせばよい。
【コメント】
適当に高校入試の問題を見ていたら，新宿高校の「キャッシュレス還元」が目に留まりました。小問集合だったので，とりあえず全部紹介。
問6，非常に面白いです。どんな風に割引がなされるのか，考えるきっかけにもなりますし，何よりそれなりに捻ってあります。①は，例えば本体価格がx円で，消費税8％だった場合，
本体価格 消費税込み
100/100 x 108/100 x
となりますから，もし消費税込みy円だったら，その逆算をすればよいので，
本体価格 消費税込み
100/108 y 108/108 y
となります。
あとは，②が簡単な式になることに気づいて，上手く計算を頑張れるかです。ただキャッシュレス還元で面白くしているだけでなく，入試としても丁度よいですね。素晴らしい。
ただ残念なのが，今月末でキャッシュレス還元終了。結構割引されてたから困る……。
地味に他の問題も丁度よいです。
【作成】
「高校入試 数学 良問・難問」
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