発想と勘(2020年度日比谷高校)

2020/05/30

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もともと北海道の高校入試数学対策サイトとして作ったこのサイトですが,都道府県別アクセス数は北海道よりも他県の方が多いという。(東京,愛知,何故か新潟が多い。人口?)

ということで,気ままに高校入試の難問,ちょっとおもしろい問題を紹介していきます。

後ジャンル変更します。

久々に日比谷の問題の解説でもしてみます。日比谷の立体問題,計算が面倒臭いイメージしかありませんでしたが,今年度のは計算「は」楽ちんですね。ただ発想,細かい記述が厳しい。

問題の出典:日比谷のホームページ

第24回芸術的な難問高校入試
「発想と勘」
出典:2020年度(令和2年度)東京都立日比谷高校 過去問
範囲:立体図形,相似,三平方の定理
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1Db819fisxMN_SaGvy3HzFZVZAyOrVajE/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

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芸術的な高校入試第24回
出典:2020年度 日比谷高校
難易度:★★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 図1に示した立体OABCは,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,OA=OB=6 cm,OC=8 cmの四面体である。次の各問に答えよ。
図1

問1 辺ABの中点をDとし,頂点Cと点Dを結び,線分CDの中点をEとし,点Eから平面OABに垂直な直線を引き,平面OABとの交点をFとし,頂点Oと点Fを結んだ場合を考える。線分OFの長さは何cmか。





問2 図2は,図1において,辺BC上にある点を点Gとし,頂点Oと点G,頂点Aと点Gをそれぞれ結んだ場合を表している。△OAGの面積が最も小さくなる場合の面積は何cm2か。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。











































問3 図3は,図1において,辺OA上にある点をH,辺OB上にある点をIとした場合を表している。
OH=2 cm,OI=5/2 cmのとき,点Hを通り,辺
  OBに平行な直線と,点Iを通り辺OAに平行な直線との交点をJとする。点Jを通り,辺OCに平行な直線と平面ABCとの交点をKとし,点Kと頂点O,点Kと頂点A,点Kと頂点B,点Kと頂点Cをそれぞれ結ぶ。
   四面体KOABの体積をV cm3,四面体KOACの体積をW cm3とする。このとき,V:Wを最も簡単な整数の比で表せ。


























































【解答例】
問1(7点)
図より,点Fは点Eは線分ODの中点である。OD=3√2 cmなので,
OF=OD/2=(3√2)/2 cm




問2(10点)
OA⊥OB,OA⊥OCより,OA⊥平面OBCであるから,∠AOG=90°となる。△OAGで底辺をOAとすると,OGが高さとなる。よって,OGが最小のとき,△OAGの面積も最小となる。
OGが最小のとき,OG⊥BCである。
△OBC=1/2×6×8=24 cm^2
BC=√(6^2+8^2 )=10 cmだか
ら,
24=1/2×10×OGより,
OG=24/5 cm OA=6 cmだから,
△AOG=1/2×6×24/5=72/5 〖cm〗^2

問3(8点)
四面体KOABにおいて,底面を△OABとすると,高さはKJとなる。
HからOAに垂直な直線引き交点L,HJを延長し,ABとの交点をMとする。
(相似色々計算して)
LH=16/3 cm,
LM=10 cm,HM=4 cm
である。

JM=4-5/2=3/2 cmであるから,△LHM∽△KJM
より,LH:KJ=HM:JM
16/3:KJ=4:3/2 KJ=2 cm
よって,四面体KOABの体積は,
V=1/3×1/2×6×6×2=12 cm^3
四面体KOACは,△OACを底面とすると,高さはJH
となる。(Kから平面OACに垂線を下ろすと,平行で長さ等しくなる)
よって,
W=1/3×1/2×6×8×5/2=20 cm^3
V:W=12:20=3:5

※問1と問3は,簡単な説明を省いている。

【コメント】
 日比谷にしては計算が面倒臭くない立体図形問題です。「計算が面倒臭くない」=「問題が簡単」というわけではありません。問1~3,閃きというか,発想力が試されます。そして受験では「まあこうだろうな」
と信じて突き進む力も試されますね。(特に問3,説明はやたら長いが,勘を信じれば素早く解ける)
 日比谷の模範解答は,やたらと問2記述してありますね。相似の証明は不要な気がしますが「OA⊥OB,OA⊥OCより,OA⊥平面OBC」だから∠AOG=90°の説明は必須でしょう。
 計算は短いですが「最初に何やっていいかわからない」沼にはまりそうな問題です。

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comment (-) @ 立体図形
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