文字地獄（2019年度都立西高校）
2020/05/28
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2020年度は比較的落ち着いた難易度でしたが，2019年度はとんでもなく（？）難しかったのでご紹介します。何が怖いって，図は非常にシンプルで簡単そうなんですね。
問題の出典：http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html
問題の解答：https://www.school-data.com/exam_archives/exam_result/2019/answer_tokyo.html
ちなみに問3は，2014年度愛知県の問題を先に知っておくと解きやすい？かもしれません。恐らく都立西の受験生は，こういう系統の問題を演習して，本番「台形でも似たようなことできるかな......?」と考えたはず。台形2等分知ってたら凄い。
図はシンプルで難易度高いので，美しさ5ぐらいにしようかと思いましたが，明らかに難易度調整，配置ミスってる気がするので，－1して4としておきました。現にこの年の平均点は低かったらしい......。
第23回芸術的な難問高校入試
「文字地獄」
出典：2019年度（平成31年度） 東京 都立西高校 過去問
範囲：2次関数，相似
難易度：★★★★★★ 美しさ：★★★★☆☆
.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1NzhiGVVq7eLabqoNO9BJGNPcmGDECBec/view?usp=sharing
その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html
＜検索コード＞
【都立西高校 過去問 解答】
芸術的な高校入試第23回
出典：2019年度 都立西高校
難易度：★★★★★★ 美しさ：★★★★☆☆
総試験時間：50分 配点：25点/100点
図1で，点Oは原点，曲線fは関数y＝ax2（a＞0）のグラフを表している。2点P，Qは，ともに曲線f上にあり，点Rはx軸上にある。点Pのx座標をt，点Qのx座標をt＋2，点Rのx座標をt＋1とする。次の各問に答えよ。
図1
問1 図2は，図1の曲線fについて，関数y＝ax2のxの値が点Pのx座標tから点Qのx座標t＋2まで増加したときの変化の割合をmとし，tとmの関係をグラフで表したものである。aの値を求めよ。
図2
問2 図3は，図1において，点（2, 0）を通る直線をlとし，直線l上の点でx座標がt＋3である点をSとした場合を表している。点Pが曲線f上を動くとき，四角形PRSQが常に平行四辺形となるような直線lの式を，aを用いて表せ。
図3
問3 図4は，図1において，t＝2のとき，点Pと点Rを結び，PR//QTとなるような点Tをx軸上にとり，点Qと点Tを結んだ場合を表している。直線y＝xが，線分PRと交わり，台形PRTQの面積を2等分するとき，aの値を求めよ。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。
図4
【解答例】
問1（7点）
図2より，t＝1のときm＝2，すなわち傾き2ということが分かる。t＝1のとき，P（1, a）Q（3, 9a）なので，傾きは，
8a/2=4a=2 これを解いて， a=1/2
問2（8点）
四角形PRSQが平行四辺形となるには，QP//SR，ここで，PとQのx座標の差＝SとRのx座標の差であるから，y座標の差が等しくなれば良い。
P(t,at^2 ),Q(t+2,a(t+2)^2 ),R(t+1,0)と表す。
直線lの傾きをbとすると，点（2, 0）を通るから，
l：y=bx-2bと表せるので，S(t+3,bt+b)
y座標の差はそれぞれ，
PQ：a(t+2)^2-at^2=4at+4a=4a(t+1)
RS：bt+b=b(t+1)
4a(t+1)=b(t+1) これを解いて（※1），b=4a
したがって，直線lは，y=4ax-8a
（※1）t＝－1とそうでないときで場合分けが本来は必要。t＝－1のとき，P（－1, a）Q（1, a）R（0, 0）S（2, 0）となるから，直線lは任意となる。
問3（10点）
P（2, 4a）R（3, 0）Q（4, 16a）と表す。
P，Qからx軸に垂線を下ろし交点をU，Vとすると，△PUR∽△QVT，相似比は4a：16a＝1：4だから，Tのx座標は4＋4＝8となり，T（8, 0）
台形PRTQを二等分する直線は，PRの中点とQTの中点を結んだ線分の中点を通る。（※2）
PRの中点(5/2,2a)，QTの中点(6,8a)
であるから，この2点の中点は，
(17/4,5a)と表せ，y=xを通るから，17/4=5a
a=17/20
（※2）
台形を2等分するには，上底，下底のそれぞれの中点を結んだ線分の中点を通ればよい。
下の図で黄色い線y＝x，赤い線分とPR，QTで交わったピンクの三角形は合同となっている。
類題：平行四辺形を2等分
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-65.html
【コメント】
問1，問3は（都立西の受験生にとっては）難しくないのですが，tやらmやらの文字で混乱して戦意喪失したでしょう。落ち着けばなんてことないのですがね。
問1は，グラフにされるから一見難しいですが，聞かれていることは「t＝1のとき，直線PQの傾きは2です。aの値は？」です。グラフを言語化できるか。
問3は，平行四辺形や正方形2等分ならよく聞きますが，台形はあまり聞かないかも。良い問題です。平行四辺形の導出の経験を活かせたら，台形もすんなりいけるはず。ちなみに都立西の模範解答は長々と書いています。解答用紙に図を書いた方が楽ですね。回答としては左ので十分だと思われます。
問2はもっと良い解法ある気がしますが……力技で解きました。文字の力技で解くなら明らかに中学生には難しい。問3と交換してあげるべきだったかも……。
ちなみにこの年は平均点がむごかったようで。4割弱？難易度調整に難があるので，美しさは5のところ4に減らしておきました（だから何だって話ですが。）
問題の出典：http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html
問題の解答：https://www.school-data.com/exam_archives/exam_result/2019/answer_tokyo.html
ちなみに問3は，2014年度愛知県の問題を先に知っておくと解きやすい？かもしれません。恐らく都立西の受験生は，こういう系統の問題を演習して，本番「台形でも似たようなことできるかな......?」と考えたはず。台形2等分知ってたら凄い。
図はシンプルで難易度高いので，美しさ5ぐらいにしようかと思いましたが，明らかに難易度調整，配置ミスってる気がするので，－1して4としておきました。現にこの年の平均点は低かったらしい......。
第23回芸術的な難問高校入試
「文字地獄」
出典：2019年度（平成31年度） 東京 都立西高校 過去問
範囲：2次関数，相似
難易度：★★★★★★ 美しさ：★★★★☆☆
.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1NzhiGVVq7eLabqoNO9BJGNPcmGDECBec/view?usp=sharing
その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html
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【都立西高校 過去問 解答】
芸術的な高校入試第23回
出典：2019年度 都立西高校
難易度：★★★★★★ 美しさ：★★★★☆☆
総試験時間：50分 配点：25点/100点
図1で，点Oは原点，曲線fは関数y＝ax2（a＞0）のグラフを表している。2点P，Qは，ともに曲線f上にあり，点Rはx軸上にある。点Pのx座標をt，点Qのx座標をt＋2，点Rのx座標をt＋1とする。次の各問に答えよ。
図1
問1 図2は，図1の曲線fについて，関数y＝ax2のxの値が点Pのx座標tから点Qのx座標t＋2まで増加したときの変化の割合をmとし，tとmの関係をグラフで表したものである。aの値を求めよ。
図2
問2 図3は，図1において，点（2, 0）を通る直線をlとし，直線l上の点でx座標がt＋3である点をSとした場合を表している。点Pが曲線f上を動くとき，四角形PRSQが常に平行四辺形となるような直線lの式を，aを用いて表せ。
図3
問3 図4は，図1において，t＝2のとき，点Pと点Rを結び，PR//QTとなるような点Tをx軸上にとり，点Qと点Tを結んだ場合を表している。直線y＝xが，線分PRと交わり，台形PRTQの面積を2等分するとき，aの値を求めよ。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。
図4
【解答例】
問1（7点）
図2より，t＝1のときm＝2，すなわち傾き2ということが分かる。t＝1のとき，P（1, a）Q（3, 9a）なので，傾きは，
8a/2=4a=2 これを解いて， a=1/2
問2（8点）
四角形PRSQが平行四辺形となるには，QP//SR，ここで，PとQのx座標の差＝SとRのx座標の差であるから，y座標の差が等しくなれば良い。
P(t,at^2 ),Q(t+2,a(t+2)^2 ),R(t+1,0)と表す。
直線lの傾きをbとすると，点（2, 0）を通るから，
l：y=bx-2bと表せるので，S(t+3,bt+b)
y座標の差はそれぞれ，
PQ：a(t+2)^2-at^2=4at+4a=4a(t+1)
RS：bt+b=b(t+1)
4a(t+1)=b(t+1) これを解いて（※1），b=4a
したがって，直線lは，y=4ax-8a
（※1）t＝－1とそうでないときで場合分けが本来は必要。t＝－1のとき，P（－1, a）Q（1, a）R（0, 0）S（2, 0）となるから，直線lは任意となる。
問3（10点）
P（2, 4a）R（3, 0）Q（4, 16a）と表す。
P，Qからx軸に垂線を下ろし交点をU，Vとすると，△PUR∽△QVT，相似比は4a：16a＝1：4だから，Tのx座標は4＋4＝8となり，T（8, 0）
台形PRTQを二等分する直線は，PRの中点とQTの中点を結んだ線分の中点を通る。（※2）
PRの中点(5/2,2a)，QTの中点(6,8a)
であるから，この2点の中点は，
(17/4,5a)と表せ，y=xを通るから，17/4=5a
a=17/20
（※2）
台形を2等分するには，上底，下底のそれぞれの中点を結んだ線分の中点を通ればよい。
下の図で黄色い線y＝x，赤い線分とPR，QTで交わったピンクの三角形は合同となっている。
類題：平行四辺形を2等分
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-65.html
【コメント】
問1，問3は（都立西の受験生にとっては）難しくないのですが，tやらmやらの文字で混乱して戦意喪失したでしょう。落ち着けばなんてことないのですがね。
問1は，グラフにされるから一見難しいですが，聞かれていることは「t＝1のとき，直線PQの傾きは2です。aの値は？」です。グラフを言語化できるか。
問3は，平行四辺形や正方形2等分ならよく聞きますが，台形はあまり聞かないかも。良い問題です。平行四辺形の導出の経験を活かせたら，台形もすんなりいけるはず。ちなみに都立西の模範解答は長々と書いています。解答用紙に図を書いた方が楽ですね。回答としては左ので十分だと思われます。
問2はもっと良い解法ある気がしますが……力技で解きました。文字の力技で解くなら明らかに中学生には難しい。問3と交換してあげるべきだったかも……。
ちなみにこの年は平均点がむごかったようで。4割弱？難易度調整に難があるので，美しさは5のところ4に減らしておきました（だから何だって話ですが。）
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