aは任意(2020年度都立西高校)

2020/05/27

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都立西高校の関数の問題です。図がシンプルなので紹介します。

実は解法も基本に忠実なシンプルな問題なのですが,大半の受験生は文字aに惑わされて何やってよいか分からなくなると思われます。

ちなみに問3は,物議を醸した2012年度埼玉県と全く同じ問題です。埼玉県のは配点と出題方法で悪問認定されていますが,都立西は最後の問題で,配点もちょうどよいので良問認定です。え?

問題の出典:http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html


第22回芸術的な難問高校入試
「aは任意」
出典:2020年度 東京 都立西高校 過去問
範囲:2次関数,相似
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/file/d/1p0zT3zAB_vIkqqd_fIjFJ0nRKTXnqa_D/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

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芸術的な高校入試第22回
出典:2020年度 都立西高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★☆☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
図1で,点 O は原点,曲線fは関数y=ax^2(a>0)のグラフである。
2点 A,B はともに曲線f上にあり,点 A のx座標は負の数,点Bのx座標は正の数であり,点 A と点 B のx座標の絶対値は等しい。点 A と点 B を結ぶ。点 O から点(1, 0)までの距離,および点 O から点(0, 1)までの距離をそれぞれ1 cm として,次の各問に答えよ。
図1

問1 図2は,図1において,a=1/2,点Aのx座標を-1とし,四角形 ABCD が正方形となるようにy座標はともに正の数となる点 C と点 D をとり,点 B と点 C,点 Cと点 D,点 D と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。2点 B,D を通る直線の式を求めよ。






問2 図3は,図1において,点 A のx座標を-1とし,点 E は曲線f上にあり,x座標が3となる点とし,点 F は曲線f上にあり,x座標が負の数で,y座標が点 A のy座標より大きい点とし,点 O と点 B,点 B と点 E,点 E と点 O,点 B と点 F,点 F と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。
△BEO と△ABF の面積が等しくなるとき,点 F のx座標を求めよ。ただし,答えだけでなく,答えを求める過程が分かるように,途中の式や計算なども書け。






















問3 右の図4は,図1において,点 A を通り,傾きが曲線fの式における比例定数aと等しい直線をlとし,点 B から直線lに引いた垂線と直線lとの交点を G とし,点 B と点 G を結んだ場合を表している。点Aのx座標が-√7,△ABG の面積が7 cm2のとき,aの値を求めよ。

































































【解答例】
問1(7点)
正方形の対角線なので,BDの傾きは-1
B(1,1/2)だから,求める式は,
y-1/2=-(x-1) y=-x+3/2
問2(10点)
A(-1,a) B(1,a) E(3,9a)と表せる。
直線OBの傾きは,aとなるから,点Eを通り直線OBに平行な直線の式は,y-9a=a(x-3) y=ax+6a
G(0,6a)とすると,△OBE=△OBG(等積変形)だから,△OBE=△OBG=1/2×6a×1=3a
△ABFにおいて,ABを底辺とした高さをhとすると,
1/2×2×h=3a h=3a
したがって,Fのy座標はa+3a=4aとなる。
y=ax^2 に代入し,4a=ax^2 a≠0,x<0だから,
x=-2
Fのx座標は-2
問3(8点)

GからABに垂線を下ろし交点をHとする。
(解法1)
直線AGの傾きがaであることから,
GH/AH=a
AB=2√7 cmで,ABを底辺としたとき,△ABGの高さは,√7 cmであるから,GH=√7なので,
AH=√7/a⋯①
次に,BG⊥AGだから,BGの傾きは-1/a となる。
GH/BH=√7/BH=1/a BH=√7 a⋯② 
よって,
AH+BH=√7/a+√7 a=2√7
1+a^2=2a この方程式を解いて,a=1
(解法2)
AB=2√7 cmで,ABを底辺としたとき,△ABGの高さは,√7 cmである。
AH=tとすると,△AHG∽△GHBだから,
AH:GH=HG:HB
t:√7=√7:(2√7-t) これを解いて,t=√7
a=GH/AH=√7/√7=1

【コメント1】
 都立西では簡単な方でしょうか。しかし,シンプルな図ですが,文字がたくさん出てきて,中学生を混乱させるには十分です。まあ,解いてみるとそこまで混乱する必要はないのですが,
 実は問3は,2012年埼玉県高校入試で同じ問題が出題されています。首都圏だったら,解いたことあるかも?ちなみに,昔このサイト
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-34.html
で悪問認定しています。私の感性が変わったのでしょう。「曲線の比例定数aと同じにする」は何も問題ありません(笑)。
埼玉県のは思い切り配点ミスる,しかも最初の問題でしたが,都立西は最後の問題においているし,配点もちょうど良いので,ノープロブレム。
 今回は図がシンプルなので採用。

【コメント2】
 都立西受験生なら,
傾きaで,点(p, q)を通る直線の式は,
y-q=a(x-p)
というのは,当たり前に知っているのでしょうか……。
問2で当たり前のように使っています。知らなかったら,y=ax+bとして,E(3, 9a)を代入し,bをaで表しましょう。そんなに難しくない。

【コメント3】
 問3適当にa=1て書いて当たった受験生多そう。

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comment (-) @ y=ax^2(2次関数)のグラフ
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