高校入試　数学　良問・難問

aは任意（2020年度都立西高校）

2020/05/27

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都立西高校の関数の問題です。図がシンプルなので紹介します。

実は解法も基本に忠実なシンプルな問題なのですが，大半の受験生は文字aに惑わされて何やってよいか分からなくなると思われます。

ちなみに問3は，物議を醸した2012年度埼玉県と全く同じ問題です。埼玉県のは配点と出題方法で悪問認定されていますが，都立西は最後の問題で，配点もちょうどよいので良問認定です。え？

問題の出典：http://www.nishi-h.metro.tokyo.jp/09nyushi/mondai.html

第22回芸術的な難問高校入試
「aは任意」
出典：2020年度　東京　都立西高校　過去問
範囲：2次関数，相似
難易度：★★★★☆☆　美しさ：★★★★☆☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/file/d/1p0zT3zAB_vIkqqd_fIjFJ0nRKTXnqa_D/view?usp=sharing

その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

＜検索コード＞

芸術的な高校入試第22回
出典：2020年度　都立西高校
難易度：★★★★☆☆ 美しさ：★★★★☆☆
総試験時間：50分配点：25点/100点
図1で，点 O は原点，曲線fは関数y=ax^2（a＞0）のグラフである。
2点 A，B はともに曲線f上にあり，点 A のx座標は負の数，点Bのx座標は正の数であり，点 A と点 B のx座標の絶対値は等しい。点 A と点 B を結ぶ。点 O から点（1, 0）までの距離，および点 O から点（0, 1）までの距離をそれぞれ1 cm として，次の各問に答えよ。
図1

問1　図2は，図1において，a=1/2，点Aのx座標を－1とし，四角形 ABCD が正方形となるようにy座標はともに正の数となる点 C と点 D をとり，点 B と点 C，点 Cと点 D，点 D と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。2点 B，D を通る直線の式を求めよ。

問2　図3は，図1において，点 A のx座標を－1とし，点 E は曲線f上にあり，x座標が3となる点とし，点 F は曲線f上にあり，x座標が負の数で，y座標が点 A のy座標より大きい点とし，点 O と点 B，点 B と点 E，点 E と点 O，点 B と点 F，点 F と点 A をそれぞれ結んだ場合を表している。
△BEO と△ABF の面積が等しくなるとき，点 F のx座標を求めよ。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

問3　右の図4は，図1において，点 A を通り，傾きが曲線fの式における比例定数aと等しい直線をlとし，点 B から直線lに引いた垂線と直線lとの交点を G とし，点 B と点 G を結んだ場合を表している。点Aのx座標が－√7，△ABG の面積が7 cm2のとき，aの値を求めよ。

【解答例】
問1（7点）
正方形の対角線なので，BDの傾きは－1
B(1,1/2)だから，求める式は，
y-1/2=-(x-1)　y=-x+3/2
問2（10点）
A(-1,a) B(1,a) E(3,9a)と表せる。
直線OBの傾きは，aとなるから，点Eを通り直線OBに平行な直線の式は，y-9a=a(x-3)　y=ax+6a
G(0,6a)とすると，△OBE＝△OBG（等積変形）だから，△OBE＝△OBG＝1/2×6a×1=3a
△ABFにおいて，ABを底辺とした高さをhとすると，
1/2×2×h=3a　h=3a
したがって，Fのy座標はa+3a=4aとなる。
y=ax^2 に代入し，4a=ax^2　a≠0，x<0だから，
x=-2
Fのx座標は－2
問3（8点）

GからABに垂線を下ろし交点をHとする。
（解法1）
直線AGの傾きがaであることから，
GH/AH=a
AB＝2√7 cmで，ABを底辺としたとき，△ABGの高さは，√7 cmであるから，GH=√7なので，
AH=√7/a⋯①
次に，BG⊥AGだから，BGの傾きは-1/a となる。
GH/BH=√7/BH=1/a　BH=√7 a⋯②　
よって，
AH+BH=√7/a+√7 a=2√7
1+a^2=2a　この方程式を解いて，a=1
（解法2）
AB＝2√7 cmで，ABを底辺としたとき，△ABGの高さは，√7 cmである。
AH＝tとすると，△AHG∽△GHBだから，
AH：GH＝HG：HB
t:√7=√7:(2√7-t) これを解いて，t=√7
a=GH/AH=√7/√7=1

【コメント1】
　都立西では簡単な方でしょうか。しかし，シンプルな図ですが，文字がたくさん出てきて，中学生を混乱させるには十分です。まあ，解いてみるとそこまで混乱する必要はないのですが，
　実は問3は，2012年埼玉県高校入試で同じ問題が出題されています。首都圏だったら，解いたことあるかも？ちなみに，昔このサイト
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-34.html
で悪問認定しています。私の感性が変わったのでしょう。「曲線の比例定数aと同じにする」は何も問題ありません（笑）。
埼玉県のは思い切り配点ミスる，しかも最初の問題でしたが，都立西は最後の問題においているし，配点もちょうど良いので，ノープロブレム。
　今回は図がシンプルなので採用。

【コメント2】
　都立西受験生なら，
傾きaで，点（p, q）を通る直線の式は，
y-q=a(x-p)
というのは，当たり前に知っているのでしょうか……。
問2で当たり前のように使っています。知らなかったら，y=ax+bとして，E（3, 9a）を代入し，bをaで表しましょう。そんなに難しくない。

【コメント3】
　問3適当にa＝1て書いて当たった受験生多そう。

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