数多の45°135°(2020年度都立立川高校)

2020/05/18

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久々にちゃんとした問題を紹介します。このブログ「高校入試 難問」という検索でご訪問なされる方が多いので,都立難関校のプリントを作成しました。

今回は,2020年度都立 立川高校です。立川高校は,平成19年まで過去問を載せてくれています。見放題,良い高校ですね。

図はシンプルです(特に証明)が,中々骨のある問題です。計算問題は,計算自体は非常に楽なのですが,何せ思いつくのが大変。いかに図に書き込んであれとかそれとかに気づけるかが勝負です。

第21回芸術的な難問高校入試
「数多の45°135°」
出典:2020年度 都立 立川高校 過去問
範囲:円周角,三平方の定理など
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1pn0kPYOXPxNcD9hRSkzwebAwC6IRzIO2

【訂正】
問3解説の(※)
四角形AHCE→四角形AHCG

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

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芸術的な高校入試第21回
出典:2020年度 都立 立川高校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:25点/100点
 四角形BCDEは,1辺が2 cmの正方形,△ABEは,AB=AE=√2 cmの直角二等辺三角形である。次の各問に答えよ。

問1 線分ACと線分BDとの交点をFとする。線分BFの長さは何cmか。


問2 3点A,C,Eを通る円をかき,線分BEをBの方向に延ばした直線と円との交点をGとする。
(1)△ABC∽△GBAを証明せよ。







(2)辺EDと円の交点のうち,点Eと異なる点をHとする。円周と弦AG,円周と弦AE,円周と弦EHでそれぞれ囲まれた部分の面積の和は何cm2か。





























【解答例】
問1(7点)
【たぶん想定されている解法】
図より,BF=XY
=√2/2 cm

【座標設定】
C(0, 0)とすると,D(2, 0)E(2, 2)B(0, 2)A(1, 3)と表される。
すると,Fの座標は,
AC:y=3x BD:y=-x+2 の交点だから,
F(1/2,3/2) BF=√(1/4+1/4)=1/√2=√2/2 cm

問2(11点)

△ABCと△GBAにおいて,
△ABEは直角二等辺三角形だから,∠ABE=45°
よって,∠ABC=45°+90°=135°
    ∠GBA=180°-45°=135°
であるから,∠ABC=∠GBA…①

また∠AEC=45°+45°=90°で,
∠BAE=∠AEC=90°となるから,同位角が等しくなるので,BA//CE
よって平行線の錯角は等しいから,∠BAC=∠ACE
⏜AE に対する円周角は等しいから,
∠ACE=∠BGA
したがって,∠BAC=∠BGA…②

①,②より2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△GBA

問3(7点)

∠AEC=∠GEH=90°より,AC,GHは円の直径である。AC=GH=√10 cm なので,半円の面積は,
5π/4 cm^2…①
△GAHは直角二等辺三角形(※)であるから,面積
は,5/2 cm^2…②
AからGEに垂線を下ろし交点をIとすると,このAIとEHは平行なので,△EHA=△EHI(等積変形)
△AEI=△EHIで,
△AEI=1/2 cm^2 だから,△EHA=1/2 cm^2…③
したがって,求める面積は,①-(②+③)=
(5π/4-3) cm^2

(※)四角形AHCEの4つの角は全て90°と分かり,また至る所に45°が現れるので,四角形AHCEは正方形と分かる。

【コメント】
 45°,90°がたくさん現れる問題です。図はシンプルで,計算自体もシンプルですが,中々思考が難しい。
 問1問3は「なぜそうなるのか?」を説明すると長いです。非記述式なので問題ないですが。
 ちなみに高校数学を習った後なら,座標で全てワンパンできます。計算面倒だけど。問1は楽にできました。たぶん問3でも計算でごり押しできる。
 実は円の中心はFになっています。
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