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数多の45°135°（2020年度都立立川高校）

2020/05/18

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久々にちゃんとした問題を紹介します。このブログ「高校入試　難問」という検索でご訪問なされる方が多いので，都立難関校のプリントを作成しました。

今回は，2020年度都立　立川高校です。立川高校は，平成19年まで過去問を載せてくれています。見放題，良い高校ですね。

図はシンプルです（特に証明）が，中々骨のある問題です。計算問題は，計算自体は非常に楽なのですが，何せ思いつくのが大変。いかに図に書き込んであれとかそれとかに気づけるかが勝負です。

第21回芸術的な難問高校入試
「数多の45°135°」
出典：2020年度　都立　立川高校　過去問
範囲：円周角，三平方の定理など
難易度：★★★★☆☆　美しさ：★★★★★☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1pn0kPYOXPxNcD9hRSkzwebAwC6IRzIO2

【訂正】
問3解説の（※）
四角形AHCE→四角形AHCG

その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

＜検索コード＞

芸術的な高校入試第21回
出典：2020年度　都立　立川高校
難易度：★★★★☆☆ 美しさ：★★★★★☆
総試験時間：50分配点：25点/100点
　四角形BCDEは，1辺が2 cmの正方形，△ABEは，AB＝AE＝√2 cmの直角二等辺三角形である。次の各問に答えよ。

問1　線分ACと線分BDとの交点をFとする。線分BFの長さは何cmか。

問2　3点A，C，Eを通る円をかき，線分BEをBの方向に延ばした直線と円との交点をGとする。
（1）△ABC∽△GBAを証明せよ。

（2）辺EDと円の交点のうち，点Eと異なる点をHとする。円周と弦AG，円周と弦AE，円周と弦EHでそれぞれ囲まれた部分の面積の和は何cm2か。

【解答例】
問1（7点）
【たぶん想定されている解法】
図より，BF=XY
=√2/2 cm

【座標設定】
C（0, 0）とすると，D（2, 0）E（2, 2）B（0, 2）A（1, 3）と表される。
すると，Fの座標は，
AC：y=3x　BD：y=-x+2　の交点だから，
F(1/2,3/2)　BF=√(1/4+1/4)=1/√2=√2/2 cm

問2（11点）

△ABCと△GBAにおいて，
△ABEは直角二等辺三角形だから，∠ABE＝45°
よって，∠ABC＝45°＋90°＝135°
　　　　∠GBA＝180°－45°＝135°
であるから，∠ABC＝∠GBA…①

また∠AEC＝45°＋45°＝90°で，
∠BAE＝∠AEC＝90°となるから，同位角が等しくなるので，BA//CE
よって平行線の錯角は等しいから，∠BAC＝∠ACE
⏜AE に対する円周角は等しいから，
∠ACE＝∠BGA
したがって，∠BAC＝∠BGA…②

①，②より2組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△GBA

問3（7点）

∠AEC＝∠GEH＝90°より，AC，GHは円の直径である。AC＝GH＝√10 cm なので，半円の面積は，
5π/4 cm^2…①
△GAHは直角二等辺三角形（※）であるから，面積
は，5/2 cm^2…②
AからGEに垂線を下ろし交点をIとすると，このAIとEHは平行なので，△EHA＝△EHI（等積変形）
△AEI＝△EHIで，
△AEI=1/2 cm^2 だから，△EHA=1/2 cm^2…③
したがって，求める面積は，①－（②＋③）＝
(5π/4-3) cm^2

（※）四角形AHCEの4つの角は全て90°と分かり，また至る所に45°が現れるので，四角形AHCEは正方形と分かる。

【コメント】
　45°，90°がたくさん現れる問題です。図はシンプルで，計算自体もシンプルですが，中々思考が難しい。
　問1問3は「なぜそうなるのか？」を説明すると長いです。非記述式なので問題ないですが。
　ちなみに高校数学を習った後なら，座標で全てワンパンできます。計算面倒だけど。問1は楽にできました。たぶん問3でも計算でごり押しできる。
　実は円の中心はFになっています。

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