2020年度 裁量問題 数学 解説

2020/03/22

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昨年よりはさすがに難しくなりましたが,当初のような裁量問題の勢いはもうありません。

相変わらず資料の整理はごり押しするようで。でも良い問題ですね。問2は問題集に採用されそう。
後は典型問題です。塾に高いお金払った人が可愛そう。(でもそれぐらいで良い気もします。)

TITLE:2020年度 裁量問題 数学 解説
出題分野:関数,資料の整理,平面図形,回転体
出典:令和2年度 北海道 公立高校入試 過去問
URL:http://www.koukou.hokkaido-c.ed.jp/gakuryokukensa/r02gakuryoku.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1qmlaaKoIF7iaO4VVd94to0Ge7bF4w4KC
<検索用コード>

問1 太郎さんは,毎分60 mで歩いて中学校から図書館まで行き,図書館で調べものをした後,同じ道を同じ速さで歩いて図書館から中学校まで戻ってきました。下の図は,このときの中学校を出発してからの時間(x分)と中学校からの道のり
(y m)の関係を表したグラフです。ただし,図書館の中での移動はないものとしています。次の(1),(2)に答えなさい。

(1)中学校から図書館までの道のりは何mですか,求めなさい。


(2)太郎さんは,全体の所要時間を変えずに,同じ道のりで中学校から図書館まで行き,30分間滞在して中学校に戻ってきたいと考えました。そのために,往路の速さを復路の2倍とすることにしました。このときの往路の速さは毎分何mですか,求めなさい。






問2 図書委員である桜さんは,自分のクラス25人に対して,夏休みと冬休みに読んだ本の冊数をそれぞれ調査しました。図1は,夏休みの調査結果をヒストグラムにまとめたものです。次の(1),(2)に答えなさい。
図1

(1)夏休みに読んだ本の冊数の平均値を求めなさい。

(2)図2は,冬休みの調査結果をヒストグラムにまとめたものですが,7冊から9冊の部分は,未完成となっています。また,下の資料は,桜さんが,夏休みと冬休みの調査結果からわかったことをまとめたものです。資料をもとにして,解答用紙に未完成の部分をかき入れ完成させなさい。

(資料)
・読んだ本の冊数の範囲は,夏休みと冬休みで変わらなかった。
・読んだ本の冊数の平均値は,夏休みと冬休みで変わらなかった。
・読んだ本の冊数の中央値は,夏休みが7冊で,冬休みは8冊であった。
・読んだ本の冊数の度数(人)が0であったのは,夏休みでは0冊のみであったが,冬休みでは0冊と6冊であった。
問3 下の図のように,線分ABを直径とする半円があり,AB=8 cmとします。弧AB上に点Cを,∠ABC=30°となるようにとります。線分ABの中点を点Dとし,点Dを通り線分ABに垂直な直線と線分BCとの交点をEとします。次の(1),(2)に答えなさい。

(1)線分DEの長さを求めなさい。
(2)△BCDを,線分ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし,円周率はπを用いなさい。





























































【解答例】              21点/60点
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問1(1)(3点)
(1)毎分60m は 1分で60 m 30倍して,
30分で1800m 
問1(2)(3点)
<解法1>
全体の所要時間は80分なので,50分で往復すればよいから,
復路 50×2/3 分
往路 50×1/3 分 (速さ2倍なので,時間は半分)
50×1/3分で,1800 m歩くから,
50分で5400 m
10分で1080 m
1分で108 m 毎分108 m
<解法2>
往路の速さを分速2v mとすると,復路の速さは分速v mと表される。道のりは1800 mだから,
往路の時間 1800/2v 復路の時間 1800/v と表せ,
1800/2v+1800/v=50 900+1800=50v
v=54 往路は,2v=108 m
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(1)は小学生レベルです。(2)は方程式を立てることもできますが,たぶん想定解答は<1>です。というか,(2)も小学生でも解けます。簡単ではないですが。もうすこし捻っても良いのでは?
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問2(1)(3点)

人数×冊数をそれぞれ求め足すと,
2+8+3+8+5+6+21+40+27+30=150 と全員が借りた合計冊数が分かる。これを25で割って,平均6冊。
問2(2)(4点)
・読んだ本の冊数の範囲は,夏休みと冬休みで変わらなかった。→0冊はいない

・読んだ本の冊数の平均値は,夏休みと冬休みで変わらなかった。
→25人で読んだ本の合計冊数は150冊のまま
→よって,7冊から9冊の合計冊数は150-67=83冊

・読んだ本の冊数の中央値は,夏休みが7冊で,冬休みは8冊であった。
→9冊は7人(合計63冊),8冊は2人(合計16冊)すると残り7冊だから7冊は1人。

・読んだ本の冊数の度数(人)が0であったのは,夏休みでは0冊のみであったが,冬休みでは0冊と6冊であった。

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(2)ヒストグラム描かせる必要あったのでしょうか。単純に「7冊,8冊,9冊は何人でしょうか?」という問題でもよかった気がします。7冊1人だから少し焦りますね......。ちなみに「未完成は7~9冊」とあるので,ぶっちゃけ一番上と一番下の情報不要です。安心感にはつながりますが。
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問3(1)(3点)
△EDBで,∠EDB=90°,∠EBD=30°だから,
DE:DB=1:√3 DB=4 cmなので,
DE=4/√3=(4√3)/3 cm


問3(2)(5点)
点Cから線分ABに垂線を下ろし交点をFとする。
△BCFを線分ABを軸として1回転させてできる立体の体積は,
∠ABC=30°より,∠ADC=60°なので,△ADCは正三角形となるから,CF=2√3 cm,また,BF=6 cm
となるから,体積は,
1/3×(2√3)^2 π×6=24π cm^3
同様に,△DCFを1回転すると,体積は,
1/3×(2√3)^2 π×2=8π cm^3
したがって,求める体積は,24π-8π=16π cm^3

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(2)は言葉で説明しづらかったら,解答欄に図を描いて「ここがF,ここ60°」と図を描いて説明した方が良いですね。問題は簡単ですが,最後の問題で時間があったかどうかと,しっかり説明できたかで点差つきそう。
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※正答率は,発表され次第更新しようと思います。

※おまけで予想正答率
問1(1)85%
問1(2)30%
問2(1)75%
問2(2)10%
問3(1)90%
問3(2)10%

昨年よりは受験として機能してそう。

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