2019年度第5回道コン感想 (数学)

2020/01/18

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2020年1月11日に,第5回道コン(北海道学力コンクール,高校受験用模試,なんで道コンなんだ?)が開催されました。

数学に関して,感想ついでに復習に役立つ問題を紹介したプリントを貼っておきます,お役立てください。


.PDFのURL:https://drive.google.com/open?id=1owQdzcyl-HVAoUTCvMey59-1ymy_fCRm

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第4回で難易度やらかしたので,第5回は適度な問題となりましたね。とは言っても,一部難しかったり,面白かったりする問題があります。紹介していきます。
大問2
問3(正答率:標準28.8%,裁量62.6%)
Mensekihi.png

これを知っているかに尽きます。(通常は,相似の面積比のときに,もう1度触れるはず)
実は小学校で習っているということになっているのですが,中々身に尽きませんよね。
流石裁量組,これぐらいは余裕で知っているということか……。
大問3
問2
ア(標準13.0% 裁量51.4%)
イ(標準9.3% 裁量47.1%)
ウ(標準1.6% 裁量17.7%)
2019年度公立高校入試の裁量問題を意識しての出題でしょうが,あちらより捻りすぎ。難しけりゃいい!てもんじゃないでしょうに。
 アは,
(12+35+60+56+48+27+10+x)/40
と,足し算しない状態で書いておくと,仮に計算ミスを起こしても2点もらえます。北海道の方程式の問題は,必ず式を書かされますが,計算ミスが怖いなら計算していないものを書いた方がよい。もちろん,
(248+x)/40
と書いても良いです。
ウは分かっていても言葉にできない中学生多いでしょうね。
「40人の中央値が6点なので,20,21人目が6点となればよい」と考える,書ければまだ簡単かも。

ぶっちゃけ,入試ではここまで面倒な問題は出ないと思われます。(採点が面倒だから。)解けたら余程のことがない限り本番も解けるでしょう。イで計算ミスしなければの話ですが……。
【参考】
2019年度 裁量問題
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-92.html

大問4
問1問2は必ず解けるようにしておきましょう。超簡単です。
問3(正答率:標準2.6%,裁量26.0%)
「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」を仮に忘れてしまったとしても,
A(-4, 16a)B(2, 4a)C(-4, -2)
AB=CBより,
√(6^2+(12a)^2 )=√(6^2+(4a+2)^2 )
36+144a^2=36+16a^2+16a+4
128a^2-16a-4=0
a=(8±√(64+512))/128=((8±24))/128 a=1/4,-1/8
a>0よりa=1/4
と計算力でごり押しする解法もあります。中学生らしい解法なのかは話が別ですが。

参考として,計算力でごり押しするしかない問題も紹介しておきます。
【参考】平成31年度予想問題3(大問3)
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-99.html

大問5
問1(正答率:標準12.6%,裁量47.7%)
あまりにも別解があるので,入試本番では出題されなさそうな証明問題です笑
とても不思議なのが,どうして道コンの別解にこれが載っていないのでしょうか。
Screenshot_20200118-172907.jpg

△BCDと△EDFにおいて,
⏜CDに対する円周角だから,∠CBD=∠DEF…①
対頂角は等しいから,∠BOD=∠AOE
円周角は中心角の半分の大きさであるから,
∠BCD=1/2∠BOD,∠EDF=1/2∠AOE
したがって,∠BCD=∠EDF…②
①,②より2組の角がそれぞれ等しいから,
△BCD∽△EDF
90°-共通な角よりはこの解答書いた中学生多そうなのですがね。

問2は,問1の証明が出来なくても,△BCD∽△EDFという条件は,今回の問題は使用してよいです。意地でも点をかっさらいましょう。

円と二等辺三角形は密接なのですが,二等辺三角形忘れがちです。参考問題を解いておきましょう。
【参考】
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-48.html


大問6
問1は樹形図や表を書いて確実に解きましょう。ミス多そうですが……。ここでミスしてしまったら恥じましょう。

問2(2)(正答率:6.2%)
これルール違反じゃない!?
高校入試において,規則性の問題といえば,
an+b または an^2
の形しかほとんど出ないと指導されてしまうことは有名です。
現に私も,2017年度の裁量問題を解説する際に,そんな指導をしてしまいました。大反省!
【参考】
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-89.html

ただ,全国の高校入試で,上記以外の形が出てしまうこともたまにあります。
【参考】
2018年度 埼玉県 学校選択問題 大問3(2)
https://resemom.jp/feature/public-highschool-exam/saitama/2018/math/g_question04.html

上記の埼玉県の問題を解説する際には,
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白いタイルは,1+2+3+4+5+…と増えている。したがって,n番目の正三角形を作るのに必要な白いタイルの
枚数は,1/2 n(n+1)枚(※)となる。
黒はそれよりも1段階低いから,
1/2 n(n-1)枚((n^2-n)/2 枚)
※イメージ
12321.png

1番目とn番目の個数を足して,nかけて2で割る。
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上記のような階段図を用いて説明することが多いのですが,これ,高校2年生の数列ですよね。中学生にできなくはない考えですが,うーんという感じ。
何が悪いかって今回の道コン模範解答も,この階段図を用いて説明していますからね。解けたらすごいですね。ルール違反な気がしますが。

問3(1)(正答率6.8%)
典型問題なのですが「立体?嫌だー」と逃げた人多いでしょう。または最後の問題なので,時間足りなかったか。
ただ,展開図を書き間違えるとおしまいです。頂点の重なりを意識しよう。

問3(2)(正答率0.6%)
・第1関門
3点B,S,Rが,正方形ABFDと同じ面にあることに気づく。
見たら明らかなのですが,これが結構難しい。
気づいたら,解答用紙は文字を長々と書いていますが,実際に正方形ABFDを書いて,点S,Rを取り,図に面積を書き込んでいった方がいいでしょう,解答用紙には図を書いてもOKです。
・第2関門
高さは対角線の半分
三角錐C-BSRは,△BSRを底面とすると,高さは正方形BCDEの対角線の半分です。
ここまできたら,正八面体ABCDEFは,正方形ABFDを底面とする正四角錐2つに分けられることに気づけば余裕です。
最後の問題なので,よほど得意な人以外は捨ててよいと思いますが……。

感想
総じてちょうどよい難易度に設定してきましたね。大問3が面倒だったり,大問6問2は無理がある気がしますが,復習して,入試に臨みましょう。
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