立方体切断で五角形(2019年度函館有斗)

2020/01/13

-スポンサーリンク-

函館の私立高校の過去問を見る機会があり,色々見ていたら面白い典型問題を発見。

さらっと(2)が難しいです。切断面が分かっても,普通にその面積を求めるのは結構きつい。

立方体切断の話で,もっと詳しいのは,2016年度北海道裁量問題解説で行っております。よろしければご覧ください。

私立はさらっと難しい問題を出してきます。いかに難易度を見極めるか大事。難易度を見極めるためにも,普段から難問にそれなりに挑戦しましょう。

立方体切断で五角形
範囲:中3三平方の定理 中1空間図形 目標時間:8分
出典:2019年度 函館大学附属有斗高校 過去問

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1LR72c2HnkobOAKqDx5StLhsSpVhPNZQH




立方体切断で五角形
範囲:空間図形・三平方 難易度:★★★★★
得点    /7
出典:2019年度 函館有斗高校
 下の図のように,一辺の長さが4 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺BC,CDの中点をそれぞれM,Lとします。次の問いに答えなさい。

(1)線分EMの長さを求めなさい。
(2)3点E,M,Lを通る平面で立方体を切断すると,切り口は五角形となります。この五角形の面積を求めなさい。




























































立方体切断で五角形 解答例
範囲:空間図形・三平方 難易度:★★★★★
問1(3点)

MからFGに垂線を下ろし,交点をNとする。
△EFNで,EF=4 cm,FN=2 cmだから,
EN=√(16+4)=√20=2√5 cm
MN=BF=4 cm(長方形ができるから)
△EMNで,
EM^2=20+16=36 EM=6 cm

問2(4点)
次のように切断面ができる。

M―O―Pの線は,最短距離となるように引かれる。
したがって,図に書くと,次のようになる。

EM=√(16+36)=√52 より,OM=√52/3
同様に,PL=√52/3
LM=2√2 OE=PE=(2√52)/3
四角形OPLMと△EOPに分けて考える。
OP=4√2
・四角形OPLM
OP//LMより,四角形OPLMは台形。
MからOPに垂線を下すと,垂線は,
√(52/9-2)=√34/3
四角形OPLM=1/2×(2√2+4√2)×√34/3=2√17 cm^2
・△EOP
EからOPに垂線を下すと,垂線は,
√(208/9-8)=(2√34)/3
△EOP=1/2×4√2×(2√34)/3=(8√17)/3 cm^2
したがって。五角形の面積は,
2√17+(8√17)/3=(14√17)/3 〖cm〗^2

【コメント】
 函館の私立高校の過去問を見る機会があったので,
作成してみました。(1)は易しいですが,(2)はとても難しい。たぶん目的は「難しい問題と気づいて次の問題に行けるか」です。この次の問題は関数なのですが,とても簡単です。
 立方体切断,忘れたころにどの高校入試でも出題されます。北海道の公立高校入試では,2016年度。
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-88.html
 上記で「立方体切断の方法」について詳しく解説しておりますので,この解説だけで物足りなかったらどうぞご覧ください。



関連記事


comment (-) @ 立体図形
円周角と三平方?(たぶん札幌市内の某中学校) | 正六角柱(2018年度日比谷高校改題)