立方体切断で五角形（2019年度函館有斗）高校入試　数学　良問・難問

立方体切断で五角形（2019年度函館有斗）

2020/01/13

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函館の私立高校の過去問を見る機会があり，色々見ていたら面白い典型問題を発見。

さらっと（2）が難しいです。切断面が分かっても，普通にその面積を求めるのは結構きつい。

立方体切断の話で，もっと詳しいのは，2016年度北海道裁量問題解説で行っております。よろしければご覧ください。

私立はさらっと難しい問題を出してきます。いかに難易度を見極めるか大事。難易度を見極めるためにも，普段から難問にそれなりに挑戦しましょう。

立方体切断で五角形
範囲：中3三平方の定理　中1空間図形　目標時間：8分
出典：2019年度　函館大学附属有斗高校　過去問

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1LR72c2HnkobOAKqDx5StLhsSpVhPNZQH

立方体切断で五角形
範囲：空間図形・三平方難易度：★★★★★
得点　　　/7
出典：2019年度　函館有斗高校
　下の図のように，一辺の長さが4 cmの立方体ABCD-EFGHがあります。辺BC，CDの中点をそれぞれM，Lとします。次の問いに答えなさい。

（1）線分EMの長さを求めなさい。
（2）3点E，M，Lを通る平面で立方体を切断すると，切り口は五角形となります。この五角形の面積を求めなさい。

立方体切断で五角形　解答例
範囲：空間図形・三平方難易度：★★★★★
問1（3点）

MからFGに垂線を下ろし，交点をNとする。
△EFNで，EF＝4 cm，FN＝2 cmだから，
EN=√(16+4)=√20=2√5 cm
MN=BF=4 cm（長方形ができるから）
△EMNで，
EM^2=20+16=36　EM=6 cm

問2（4点）
次のように切断面ができる。

M―O―Pの線は，最短距離となるように引かれる。
したがって，図に書くと，次のようになる。

EM=√(16+36)=√52 より，OM=√52/3
同様に，PL=√52/3
LM=2√2　OE=PE=(2√52)/3
四角形OPLMと△EOPに分けて考える。
OP=4√2
・四角形OPLM
OP//LMより，四角形OPLMは台形。
MからOPに垂線を下すと，垂線は，
√(52/9-2)=√34/3
四角形OPLM=1/2×(2√2+4√2)×√34/3=2√17 cm^2
・△EOP
EからOPに垂線を下すと，垂線は，
√(208/9-8)=(2√34)/3
△EOP=1/2×4√2×(2√34)/3=(8√17)/3 cm^2
したがって。五角形の面積は，
2√17+(8√17)/3=(14√17)/3 〖cm〗^2

【コメント】
　函館の私立高校の過去問を見る機会があったので，
作成してみました。（1）は易しいですが，（2）はとても難しい。たぶん目的は「難しい問題と気づいて次の問題に行けるか」です。この次の問題は関数なのですが，とても簡単です。
　立方体切断，忘れたころにどの高校入試でも出題されます。北海道の公立高校入試では，2016年度。
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-88.html
　上記で「立方体切断の方法」について詳しく解説しておりますので，この解説だけで物足りなかったらどうぞご覧ください。

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