何度も失礼します。
これは僕が中学受験時代に塾の先生から教えてもらった方法です。
切断面とDHの交点をP,BFとの交点をQとおく。
まず、AD,ABをそれぞれD方向、B方向に延長する。切断において、同じ面上にある点は直線で結べるので、直線LMを引き、半直線ADとの交点をR,ABとの交点をSとおく。すると、また同じ面にある点は結べるのでR,SとEを結ぶ。すると、△ESRが出てくる。
また、RP:PE=RL:LS=SM:MR=SQ:QE=1:2なので、△PLR,△QSMはそれぞれ△ESRの1/9なので、切断面の五角形の面積は△ESRの面積の7/9。
△ESR=6√2×√34×1/2=6√17 切断面の面積はそれの7/9なので、
6√17×7/9=14√17/3　となります。
伝わらなかったらごめんなさい。でも、こうしたら計算が実質1/2になると思うので、幾分か楽になると思います。長々と失礼しました。

ご丁寧にありがとうございます。よさげですね，検証してみます。