正六角柱(2018年度日比谷高校改題)

2020/01/01

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あけおめです。

新年早々,異常に難しい問題をご紹介します。2018年度日比谷高校の過去問を元に作成しました。

問1はオリジナル,問2は日比谷の問題を少しアレンジ。いかに立体を平面で考えるかが重要です。

こんなに難しい問題は,北海道では100%出ませんね。

日比谷と,北海道の札幌南は,同じ公立同士だからか?よくセンター試験の平均点で競い合ったり,授業見学をしたりしているらしいです。確かにどちらも公立TOPだけど,日比谷は周りに東京開成だの,有名私立ある中で,生徒募集で戦っていますからね。どう考えても南の方が有利?(札幌は南以外のTOP高校と言ったら,北と北嶺ぐらい?)


正六角柱
範囲:中3三平方の定理 中1空間図形 目標時間:??分
出典:2018年度 日比谷高校 過去問 改題
URL:http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1L659K3xgDDduWJXZpZs46cICgz-xOCHk


<検索用コード>

正六角柱
範囲:中3三平方の定理 難易度:★★★★★++
得点   /10
以下の図のように,AB=6 cm,AG=a cmの正六角柱ABCDEF-GHIJKLがあります。辺GH上に点M,辺CI上に点Nを取ります。次の問いに答えなさい。

問1 a=4とします。三角錐E-BGIの体積を求めなさい。

問2 a=9,GM=4 cm,CN=x cm,∠ENM=90°とします。xの値を求め,△EMNの面積を求めなさい。
























































正六角柱 解答例
範囲:中3三平方の定理 難易度:★★★★★++
問1(8点)
△BGIは,BG=BI=√(36+16)=2√13,GI=6√3の二等辺三角形。【辺の長さの2乗各1点】
BからGIに垂線を下ろすとその垂線の長さは,
√(52-27)=5 cm 【1点】
よって,
△BGI=1/2×6√3×5=15√3 cm^2 【1点】
次に,△BGIを底面としたときの高さEYを考える。
GIの中点をXとする。【中点Xを考える 1点】
(△GHIは,GH=HI=6,∠GHI=120°の二等辺三角形なので,)HX=3,(中点連結定理より,HK=12なので,)KX=9となる。すると,
EX=√(81+16)=√97 BX=√(9+16)=5となる。
BY=yと置くと,XY=5-y
EY^2=97-(5-y)^2=144-y^2 【方程式1点】
これを解いて,y=36/5
EY=√(144-1296/25)=√(2304/25)=48/5 cm 【1点】
したがって,体積は,
1/3×15√3×48/5=48√(3 ) cm^3 【1点】


問2(6点)
△GMKで,GK=6√3 cmだから,
KM=√(16+108)=2√31 cm 【1点】
△EKMで,
EM=√(124+81)=√205 cm 【1点】
点Iから直線MHに垂線を下ろし交点をOとする。
∠IHM=120°だから,IO=3√3 cm,HO=3 cm
MI=√(25+27)=√52 cm 【1点】
CN=xだから,NI=9-x
EN=√(108+x^2 )
MN=√(52+(9-x)^2 )
EM^2=EN^2+MN^2 より,
205=108+x^2+52+(9-x)^2 【式1点】
整理して,x^2-9x+18=0 (x-6)(x-3)=0
0EN=√126=3√14,MN=√98=7√2となるから,
△EMN=1/2×3√14×7√2=1/2×42×√7
=21√(7 ) cm^2【1点】

【コメント】
 2018年度日比谷高校の過去問をもとに,問2はややアレンジ,問1は作ってみました。
 こんなに面倒くさい体積問題は,日比谷(と都立西?)でしか出せません。いったい何人ぐらいの受験生が解けるのでしょう,気になるな。

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