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正六角柱（2018年度日比谷高校改題）

2020/01/01

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あけおめです。

新年早々，異常に難しい問題をご紹介します。2018年度日比谷高校の過去問を元に作成しました。

問1はオリジナル，問2は日比谷の問題を少しアレンジ。いかに立体を平面で考えるかが重要です。

こんなに難しい問題は，北海道では100％出ませんね。

日比谷と，北海道の札幌南は，同じ公立同士だからか？よくセンター試験の平均点で競い合ったり，授業見学をしたりしているらしいです。確かにどちらも公立TOPだけど，日比谷は周りに東京開成だの，有名私立ある中で，生徒募集で戦っていますからね。どう考えても南の方が有利？（札幌は南以外のTOP高校と言ったら，北と北嶺ぐらい？）

正六角柱
範囲：中3三平方の定理　中1空間図形　目標時間：？？分
出典：2018年度　日比谷高校　過去問　改題
URL：http://www.hibiya-h.metro.tokyo.jp/SelectedEntrants/TestTheme.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1L659K3xgDDduWJXZpZs46cICgz-xOCHk

＜検索用コード＞

正六角柱
範囲：中3三平方の定理難易度：★★★★★++
得点　　　/10
以下の図のように，AB＝6 cm，AG＝a cmの正六角柱ABCDEF-GHIJKLがあります。辺GH上に点M，辺CI上に点Nを取ります。次の問いに答えなさい。

問1　a＝4とします。三角錐E-BGIの体積を求めなさい。

問2　a＝9，GM＝4 cm，CN＝x cm，∠ENM＝90°とします。xの値を求め，△EMNの面積を求めなさい。

正六角柱　解答例
範囲：中3三平方の定理難易度：★★★★★++
問1（8点）
△BGIは，BG=BI=√(36+16)=2√13，GI=6√3の二等辺三角形。【辺の長さの2乗各1点】
BからGIに垂線を下ろすとその垂線の長さは，
√(52-27)=5 cm　【1点】
よって，
△BGI=1/2×6√3×5=15√3 cm^2　【1点】
次に，△BGIを底面としたときの高さEYを考える。
GIの中点をXとする。【中点Xを考える　1点】
（△GHIは，GH＝HI＝6，∠GHI＝120°の二等辺三角形なので，）HX＝3，（中点連結定理より，HK＝12なので，）KX＝9となる。すると，
EX=√(81+16)=√97　BX=√(9+16)=5となる。
BY＝yと置くと，XY＝5－y
EY^2=97-(5-y)^2=144-y^2　【方程式1点】
これを解いて，y=36/5
EY=√(144-1296/25)=√(2304/25)=48/5 cm　【1点】
したがって，体積は，
1/3×15√3×48/5=48√(3 ) cm^3　【1点】

問2（6点）
△GMKで，GK＝6√3 cmだから，
KM=√(16+108)=2√31 cm　【1点】
△EKMで，
EM＝√(124+81)=√205 cm　【1点】
点Iから直線MHに垂線を下ろし交点をOとする。
∠IHM＝120°だから，IO＝3√3 cm，HO＝3 cm
MI=√(25+27)=√52 cm　【1点】
CN＝xだから，NI＝9－x
EN=√(108+x^2 )
MN=√(52+(9-x)^2 )
EM^2=EN^2+MN^2 より，
205=108+x^2+52+(9-x)^2　【式1点】
整理して，x^2-9x+18=0　(x-6)(x-3)=0
0EN=√126=3√14，MN=√98=7√2となるから，
△EMN=1/2×3√14×7√2=1/2×42×√7
=21√(7 ) cm^2【1点】

【コメント】
　2018年度日比谷高校の過去問をもとに，問2はややアレンジ，問1は作ってみました。
　こんなに面倒くさい体積問題は，日比谷（と都立西？）でしか出せません。いったい何人ぐらいの受験生が解けるのでしょう，気になるな。

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