関数で回転移動(2017年度国立高専)

2019/12/27

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初,高等専門学校の問題を紹介します。札幌では中学生の進路にはなりづらいのですが,函館高専や苫小牧高専がある地域では,進路の一つとなります。優秀な学生多いですよね。とにかくPCに強い強い,うらやましい。


入試過去問は,ここで紹介されています。どんな入試でも対策できそうな良い問題があったので,紹介します。

関数に回転移動を絡めた問題です。まあ回転移動の知識はほとんど使わず(?),計算ごり押しで解けます。
回転と聞くと,複素数平面などを使いたくなりますが,使わなくて大丈夫です。


第17回芸術的な難問高校入試
「関数で回転移動」
出典:2017年度 高専 過去問 範囲:関数,三平方の定理 
難易度:★★★★☆ 美しさ:★★★★★☆

.pdfのURL:https://drive.google.com/open?id=1VQTifEGIolyZE0uJTnuO0Stk8Hyx47na

その他の芸術的な難問高校入試
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

<検索用コード>

芸術的な高校入試第17回
出典:2017年度 国立高等専門学校
難易度:★★★★☆☆ 美しさ:★★★★★☆
総試験時間:50分 配点:15点/100点
 下の図のように,関数y=1/4 x^2のグラフ上に2点A,Bがある。A,Bのx座標をそれぞれ-6,4であるとき,次の各問いに答えなさい。

(1)直線ABの式を求めなさい。
(2)△AOBの面積を求めなさい。
(3)△AOBを原点Oを回転の中心として,時計の針の回転と同じ向きに,点Bが初めてx軸上にくるまで回転移動させる。この移動によって,点BがB’に,点AがA’にきたとき,A’の座標を求めなさい。
























































【解答例】
(1)(5点)
A(-6, 9),B(4, 4)である。
傾き 5/(-10)=-1/2,(4,4) を通るから,
y=-1/2 (x-4)+4 ,すなわちy=-1/2 x+6

(2)(4点)
ABとy軸との交点C(0, 6)とすると,
△OAB=△OCA+△OCB
=1/2×6×6+1/2×6×4=30

(3)(3点×2)
OB=OB’=4√2なので,△A’OB’において,A’からx軸に下ろした垂線の長さhは,
(4√2 h)/2=30 h=(15√2)/2 A^' のy座標は (15√2)/2
OA=OA'=√(36+81)=3√13 なので,A^' のx座標をt
とすると,
t^2+225/2=117 t^2=9/2 t>0より,t=(3√2)/2
A^' ((3√2)/2,(15√2)/2)



【コメント】
 (1),(2)は確実に解かなくてはならない問題です。(3)が実に面白い問題です。回転移動で,さらに∠BOB’=45°なので,この45°を利用したくなりますが,利用しないで解けます。解法を見ると「何だそれだけ」となりますが,思いつけるかどうか。


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