関数で回転移動（2017年度国立高専）高校入試　数学　良問・難問

関数で回転移動（2017年度国立高専）

2019/12/27

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初，高等専門学校の問題を紹介します。札幌では中学生の進路にはなりづらいのですが，函館高専や苫小牧高専がある地域では，進路の一つとなります。優秀な学生多いですよね。とにかくPCに強い強い，うらやましい。

入試過去問は，ここで紹介されています。どんな入試でも対策できそうな良い問題があったので，紹介します。

関数に回転移動を絡めた問題です。まあ回転移動の知識はほとんど使わず（？），計算ごり押しで解けます。
回転と聞くと，複素数平面などを使いたくなりますが，使わなくて大丈夫です。

第17回芸術的な難問高校入試
「関数で回転移動」
出典：2017年度　高専　過去問　範囲：関数，三平方の定理　
難易度：★★★★☆　美しさ：★★★★★☆

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1VQTifEGIolyZE0uJTnuO0Stk8Hyx47na

その他の芸術的な難問高校入試
→https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-26.html

＜検索用コード＞

芸術的な高校入試第17回
出典：2017年度　国立高等専門学校
難易度：★★★★☆☆ 美しさ：★★★★★☆
総試験時間：50分配点：15点/100点
　下の図のように，関数y=1/4 x^2のグラフ上に2点A，Bがある。A，Bのx座標をそれぞれ－6，4であるとき，次の各問いに答えなさい。

（1）直線ABの式を求めなさい。
（2）△AOBの面積を求めなさい。
（3）△AOBを原点Oを回転の中心として，時計の針の回転と同じ向きに，点Bが初めてx軸上にくるまで回転移動させる。この移動によって，点BがB’に，点AがA’にきたとき，A’の座標を求めなさい。

【解答例】
（1）（5点）
A（－6, 9），B（4, 4）である。
傾き 5/(-10)=-1/2，(4,4) を通るから，
y=-1/2 (x-4)+4 ，すなわちy=-1/2 x+6

（2）（4点）
ABとy軸との交点C（0, 6）とすると，
△OAB＝△OCA＋△OCB
=1/2×6×6+1/2×6×4=30

（3）（3点×2）
OB＝OB’＝4√2なので，△A’OB’において，A’からx軸に下ろした垂線の長さhは，
(4√2 h)/2=30　h=(15√2)/2　A^' のy座標は (15√2)/2
OA=OA'=√(36+81)=3√13 なので，A^' のx座標をt
とすると，
t^2+225/2=117　t^2=9/2　t>0より，t=(3√2)/2
A^' ((3√2)/2,(15√2)/2)

【コメント】
　（1），（2）は確実に解かなくてはならない問題です。（3）が実に面白い問題です。回転移動で，さらに∠BOB’＝45°なので，この45°を利用したくなりますが，利用しないで解けます。解法を見ると「何だそれだけ」となりますが，思いつけるかどうか。

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