接する球（2018年度愛知県B）高校入試　数学　良問・難問

接する球（2018年度愛知県B）

2019/12/27

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2018年度愛知県Bの問題です。

こういう問題といい，愛知県の問題は，入試の都合上，長い問題を作ることができません。北海道の裁量問題みたいな小問集合を練習するにはちょうど良い問題がたくさんあります。時間との闘いで大変そう......。

円と接線の図形的知識は常識です。慣れておきましょう。マナペディアなどでさらっと確認しておきましょう。

接する球
範囲：中3三平方の定理，中1空間図形　目標時間：6分
出典：2018年度　愛知県　高校入試　過去問
URL：https://www.zenkenmoshi.jp/nyushi/nyushi.html

.pdfのURL：https://drive.google.com/open?id=1tUqULVVtqxoB2VmtMKBUxyuB7s8P1Ddq

＜検索用コード＞

接する球
範囲：中3立体図形難易度：★★★★☆
得点　　　 /7
出典：2018年度愛知県B
下の図は，A，B，C，D，E，Fを頂点とする立体は底面の△ABC，△DEFが正三角形の正三角柱です。また，球Oは正三角柱ABCDEFに丁度入っています。球Oの半径を2 cmとするとき，次の問いに答えなさい。

（1）球Oの表面積を求めなさい。
（2）正三角柱ABCDEFの体積を求めなさい。

接する球　解答例
範囲：中3立体図形難易度：★★★★☆
（1）（3点）
4πr^2=4π×2^2=16π cm^2
（2）（4点）
球の断面図のうち，中心Oを通る円は，正三角形に接する。

上の図で考える。ある点から円へ接線を引くと，長さは等しくなる。よって，上の図の場合，△PSO≡△PUOなので，OS＝2 cm，∠OPS＝30°，∠OSP＝90°だから，OP＝4 cm，よって，OR＝4 cm。RS＝6 cm。
PS=SQ=2√3 cmなので，底面積は，
1/2×4√3×6=12√3 cm^2
立体の高さは球の直径なので，4 cm。
答えは，48√3 〖cm〗^3

【コメント】
　ちょうどよい問題です。（1）が解けるのは当たり前として，（2）は「円が内接する三角形」について，三平方の定理や円周角で色々な問題を解いておけば，解けるはず。（ただし，計算ミスは多発！？）

【何となく似ている問題】
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-66.html
→ひたすら難しい相似証明
　接線関連の問題
https://hokkaimath.blog.fc2.com/blog-entry-90.html
→2019年度中3第4回道コン
　だいぶえげつない問3
　上記2つともえげつない難易度なので注意。

　最低限，この愛知県の問題は解けるようにしておくと，よいことあります。

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