最大角,余弦定理や微分は不要!(膳所高校特色,2019滋賀県)【改】

2021/01/10
カテゴリ:@ 平面(計算メイン)

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※解答例訂正しました。
※高校生の解答例2,思い切り増減表の書き方間違っておりました,画像で訂正しています。

今まで数回ぐらい「明らかに高校数学を用いると有利な問題」を紹介してきました。

・①  ・②  ・③

今回の問題は「高校数学以外でどう解けと!?」という問題です。

滋賀県立膳所高校は,滋賀県の名門高校です。一般入試以外にも,特色入試というものをやっているみたいですね。

「答え」は何となく導けます。入試問題も解答を書くのみのタイプでした。しかし,中学範囲内のみで「どうしてそうなるの?」を説明するのは至難の業(一応中学範囲内で説明は可能です)。



芸術的な難問高校入試 第47回
「余弦定理,微分は不要!」
出典:2019年度 滋賀県立膳所高校 特色選抜 理数科
範囲:中3図形? 難易度:?????? 美しさ:??????

<問題>

AB=2,BC=3で辺CAの長さが変化する△ABCがある。点Aから辺BCにおろした垂線と辺BCの交点をDとする。∠ACBの大きさが最大になるときの線分ADの長さを求めなさい(入試では答えのみを書く形式)。
※もちろん高校入試なので,余弦定理や三角関数,微分は不要!



<PDF,解答例はこちら↓↓>






積分における1/6公式

2019/12/10
カテゴリ:@ 大学入試

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数学2の積分においては,1/6公式,偶関数など,テクニックが結構存在します。

好き嫌い分かれますが,ただ覚えるだけではだめです,どうしてそうなるのか?を覚えていないと,結局公式を使いこなせません。たぶん。

1/6公式は,部分積分で証明するのがよいですね。どうせ理系は後でやるので早めにやっておいた方がよいでしょう。

色々紹介したPDFを,生徒用に作ってみたので,貼っておきます。


TITLE:積分における1/6公式

範囲:数学2の積分

out_of_gravity.pdf




極値と変曲点の幾何学 (2016年度北海道大)

2019/12/07
カテゴリ:@ 大学入試

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数学2の微分分野でよく出題されるのが,3次関数です。

3次関数では,次のような幾何学的性質があり,知っているとごくたまに役に立ちます。

①,変曲点の座標は,極大点と極小点の中点
②,変曲点まわりの主要部が,横4個,縦2個の合同な平行四辺形で埋め込まれる。


<例>
bibun_1.jpg


極大値と極小値の中点が,変曲点となります。また,極値から接線を引き,他の交点を考えると,合同な長方形で埋め込まれます。(簡単な計算で,座標を求めることができる!)

bibun_2.jpg

極値だけでなく,任意の接点でも扱えます。

任意の接点から接線を引く。引いた接線の傾きと同じになる他の接点を見つけ,接線を引く。変曲点からも同じ傾きの直線を引く。すると,この場合も,合同な平行四辺形で埋め込まれ,接点の中点が,変曲点となる。

接点と変曲点について証明させた問題が,次の問題です。紹介しておきます。

TITLE:極値と変曲点の幾何学

出典:2016年度 北海道大学 過去問 範囲:微分



<PDF,解答例はこちら↓↓>